VaR de risques extrêmes : un outil à manier avec précaution

[latexpage] Consacrée par Solvabilité 2, la Value-at-Risk (VaR) compte parmi les mesures de risques les plus utilisées en assurance. La VaR de niveau $\alpha \in \left] 0,1 \right[$ appliquée à un risque est définie comme le montant de perte associée à ce risque qui ne sera dépassé qu’avec une probabilité $1-\alpha$. La facilité de son interprétation, même pour des non-spécialistes, contribue à en faire un outil de décision important.

Les méthodes mises en oeuvre pour son estimation sont schématiquement de deux natures :

• la VaR historique qui consiste à estimer ce niveau de perte au moyen de données historiques,
• la VaR paramétrique qui consiste à ajuster un modèle aux données observées et à déterminer (de manière analytique selon le modèle retenu) la VaR corrrespondant à la distribution ainsi ajustée.

Si la première méthode a les faveurs de la finance de marché, compte tenu notamment du volume d’information disponible (ex : des cotations de titres financiers de manière quasi-continue), c’est la deuxième approche qui est le plus souvent retenue en assurance compte tenu des volumes de données moindres.

Néanmoins, dès lors que le niveau associé à la VaR est très élevé, les ajustements paramétriques réalisés sur l’ensemble des données observées s’avèrent généralement peu pertinents. En effet, ils ont souvent pour effet de mal représenter la queue de distribution : les événements les plus extrêmes.

La théorie des valeurs extrêmes (cf. Embrechts et al. (1997) ou Thérond & Planchet (2007)) permet, en partie, de pallier à cette carence au moyen de résultats probabilistes puissants qui ne s’appliquent que dans les queues de distribution. Elle n’élimine néanmoins pas toutes les difficultés puisqu’elle nécessite de définir un seuil (élevé) à partir duquel elle est pertinente (cf. Thérond & Ribereau (2012)). Le choix de ce seuil place l’actuaire devant un arbitrage entre la pertinence de l’utilisation de la théorie des valeurs extrêmes (qui augmente lorsque le seuil croît) et le volume de données dépassant le seuil (qui diminue lorsque le seuil croît) nécessaire à l’estimation statistique des résultats qui découlent de cette théorie, et en particulier des VaR. L’estimation d’une VaR extrême en assurance passe ainsi par un savant dosage entre risque de modèle et risque d’estimation.

Il apparaît ainsi essentiel que les décideurs soient sensibilisés à cette problématique de manière à ce qu’ils considèrent des VaR à des niveaux pour lesquels les estimations sont robustes. À moins, qu’ils n’aient la capacité d’apprécier l’erreur qui entache les estimations produites pour les niveaux les plus extrêmes.

Références citées
Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T. (1997) Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer.
Thérond P.E., Planchet F. (2007) Provisions techniques et capital de solvabilité : méthodologie d’utilisation de Value-at-Risk, Assurance et gestion des risques 5 (4), 533-563.
Thérond P.E., Ribereau P. (2012) Théorie des valeurs extrêmes, L’Actuariel 5, 52-54.

N.B. Cet article est repris d’un encadré réalisé par l’auteur pour L’Actuariel n° 10.