La théorie de la crédibilité – Une option de modélisation pour l'assurance dépendance ?

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La récente reprise des discussions du gouvernement au sujet du cinquième risque (cf. article « le gouvernement ouvre le chantier de la dépendance » publié le 29/11/2013 sur « lepoint.fr ») rappelle que le marché français de l’assurance dépendance est jeune et ne dispose pas de système de base, comme c’est le cas pour les couvertures d’arrêt de travail (incapacité et invalidité). Dans ce secteur, il n’existe pas encore de tables réglementaires ou de marché, nécessaires à la tarification et au provisionnement. Il n’en demeure pas moins que l’environnement concurrentiel et la directive Solvabilité 2 pousse les acteurs à se rapprocher d’hypothèses best estimate. Le manque d’expérience en assurance dépendance conduit généralement les assureurs français à s’appuyer sur les bases techniques de leur réassureur. Ces bases contiennent les données de plusieurs assureurs et ont, de ce fait, une plus grande significativité statistique.

La théorie de la crédibilité (cf. Bühlmann & Gisler (2005) ou Thérond (2013)) consiste à individualiser une quantité estimée sur des données collectives. Elle est régulièrement utilisée en assurance automobile, par exemple, où elle se matérialise par le système du bonus-malus dans la tarification.

L’idée de ce billet est d’exposer une méthode permettant de combiner l’expérience propre au portefeuille de l’assureur à l’expérience agrégée du réassureur, considérée comme référence dans le cadre de l’assurance dépendance. L’intérêt est double :

  • permettre aux plus jeunes acteurs du secteur (avec moins de 10 ans d’expérience) d’utiliser le modèle collectif (i.e. de référence) en y intégrant les spécificités de leurs portefeuilles respectifs ;
  • et mettre à jour annuellement l’expérience de portefeuille de chaque assureur.

Pour ce faire, nous étudions l’approche de Hardy et Panjer (1998) que nous pouvons généraliser à toutes les lois de probabilité prises en compte dans le cas de la dépendance.

Principe de la méthode

La méthode proposée par Hardy et Panjer repose sur l’estimation du rapport entre le montant de sinistres à régler et le montant de sinistres théoriquement attendus par la loi de référence.

Considérons les variables aléatoires :

  • $S_{i,j}$ qui représente le montant de sinistre réglé par la compagnie $i$, l’année $j$ ;
  • $P_{i,j}$ qui représente le montant de sinistre prédit par la loi de référence pour la compagnie $i$, l’année $j$,

avec $i \in \{1,…,N\}$ et $j \in \{1,…,n_{i}\}$.

Le loss ratio de sinistralité est alors défini par $X_{i,j}=\frac{S_{i,j}} {P_{i,j}}$.

Les auteurs supposent (notamment) que la variable aléatoire $X_{i,j}$ dépend d’un facteur risque (inconnu) $\theta_i$ et que conditionnellement à ce facteur risque, les variables $(X_{i,j})_{j=1,…,n_i}$ sont indépendantes et d’espérance $E \lbrack X_{i,j} | \theta_i \rbrack = \mu(\theta_i)$. Il s’agit d’une hypothèse classique de Bühlmann-Straub en théorie de la crédibilité.

Le but de l’exercice est alors d’estimer $E \lbrack X_{n_{i}+1,j} | \theta_i \rbrack= \mu(\theta_i)$.

En pratique, dans le cas d’une garantie de capital en cas d’entrée en dépendance, $\mu(\theta_i)$ permet d’estimer, sans calcul tête par tête, le best estimate des règlement attendus sur l’année. Pour la garantie de versement de rente, il est nécessaire de passer des montants au nombre de sinistres. Cela se fait aisément en considérant qu’un capital d’une unité monétaire est versé en cas de sinistre. $\mu(\theta_i)$ représente alors un facteur d’ajustement de la table de probabilité de référence.

L’estimateur proposé par Hardy et Panjer est une combinaison d’éléments relatifs à la compagnies $i$ et d’éléments estimés sur la base de données de l’ensemble des assureurs :

$\tilde{\mu}_i=Z_i\bar{X}_i+(1-Z_i)E\lbrack \mu (\theta_i) \rbrack$,

 où :

  • $\bar{X}_i$ le loss ratio moyen (pondéré par $P_{i,j}$) de la compagnie $i$ observé sur son historique (i.e. pour $j=1,…,n_i$),
  • et $Z_i$ le facteur de crédibilité pour la compagnie $i$.

L’espérance du loss ratio $E\lbrack \mu (\theta_i) \rbrack$ est estimée à partir des données de l’ensemble des compagnies d’assurance. Le détail de cette estimation est disponible dans l’article publié par les auteurs.

Limites

Quelques limites identifiées sont les suivantes :

  • une limite évidente est qu’aucun assureur ne peut utiliser seul cette méthode car elle nécessite les données des autres. Il est alors envisageable que les travaux soient réalisés par un centralisateur d’information (le réassureur, une autorité publique ?) qui communiquerait les tables mises à jour aux assureurs ensuite ;
  • l’étude doit se baser sur une quantité  relativement importante d’assureurs. L’étude porte sur neuf assureurs dans l’article de Hardy et Panjer ;
  • la limite ci-avant citée conduit à une autre limite qui est l’hétérogénéité entre les portefeuilles du réassureur. En effet, on retrouve différentes définitions de la dépendance d’un assureur à un autre (et même d’un produit à un autre chez le même assureur). La sélection médicale, les différentes franchise et les autres caractéristiques spécifiques à chaque portefeuille sont de nature à porter de l’hétérogénéité et à biaiser l’estimation de la loi de référence ;
  • l’hypothèse d’indépendance entre les compagnies n’est plus vérifiée dès lors qu’un événement touche plusieurs assureurs du groupe étudié.

Par ailleurs, en pratique, il serait plus pertinent, dans un premier temps, d’analyser l’écart entre les sinistres observés et les sinistres théoriques prédits par la table de référence. Si l’écart est quasiment nul, la compagnie à meilleur temps d’utiliser directement la table de référence, ce qui lui apportera moins de contrainte que la méthode de Hardy et Panjer, avec un résultat de qualité similaire.

Références
Bühlmann H., Gisler A. (2005) A Course in Credibility Theory and its Applications, Springer.
Hardy M.R., Panjer H.H. (1998), A credibility approach to mortality riskASTIN Bulletin, Vol. 28, No. 2, pp. 269-283, [lien] Planchet F., Thérond P. (2011), Modélisation statistique des phénomènes de durée – Applications actuarielles, Economica.
Thérond P. (2013), Théorie de la crédibilité, notes de cours ISFA [lien].