Ecrêtement de sinistres en assurance non-vie

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Dans le cadre de la tarification (et du provisionnement) en assurance non vie, une hypothèse classique est celle selon laquelle le portefeuille est constitué de risques similaires. Un problème pour que cette hypothèse soit vérifiée est le poids important des sinistres « graves ». Pour le résoudre, les sinistres observés sont souvent écrêtés : ils sont plafonnés à un niveau maximum $M$. La charge résiduelle étant répartie sur une assiette plus large que le segment dont elle est issue (ex : répartition à l’ensemble de la mutualité de risques).

Le choix de ce plafond peut être délicat et peut conduire à une sous-estimation ou à une surestimation des sinistres ordinaires. Le cas échéant, la prime pure estimée représenterait mal la sinistralité constatée sur le segment et conduirait soit à de l’anti-sélection, soit à des tarifs trop élevés et donc peu compétitifs.

Ce billet a pour objectif de fournir des pistes pour orienter le choix du seuil de l’écrêtement. Celles-ci nécessitent un avis d’expert à des degrés différents.

  • Méthode 1 : cette méthode consiste à choisir un montant (d’expérience) forfaitairement. Celle-ci devrait être évitée quand elle n’a pas de fondements techniques.
  • Méthode 2 : une technique classique consiste à choisir un seuil tel que la sur-crête représente un certain pourcentage de la charge totale de sinistres.
  • Méthode 3 : il est également possible de choisir un certain quantile de la distribution historique des coûts unitaires de sinistres (typiquement 0,5 %, 1 % ou 2 %).
  • Méthode 4 : il s’agit de procéder en se basant sur la théorie des valeurs extrêmes à une estimation du seuil à partir duquel, on peut considérer que les sinistres ont un comportement de type extrême. Pour cela, il est indispensable de vérifier si la théorie des valeurs extrêmes s’applique aux coûts par des tests d’adéquation avec la loi de Pareto (ou a minima une loi est à queue épaisse). Par ailleurs, un volume de données important est nécessaire pour justifier d’un minimum de robustesse. Dans ce cas, l’observation selon laquelle l’espérance de coût résiduelle (au-delà du seuil $M$), $E(C-M|C>M)$, croit linéairement permet de cibler des techniques pour déterminer le seuil $M$. Quelques exemples ci-après avec en tête les précautions mentionnées dans ce billet :
    • Exemple 1à partir du seuil, les coûts suivent approximativement une loi de Pareto. $M$ est donc la 1ère valeur pour laquelle l’espérance résiduelle a une croissance linéaire.
    • Exemple 2 : on ajuste les $k$ plus grandes valeurs des coûts sur la loi de Pareto $(m,\alpha)$ et on choisit $k$ en fonction de la cohérence entre différents estimateurs. L’actuaire a la possibilité de comparer l’estimateur de Hill :

$\hat{\alpha}_{Hill}(k)=\frac{1}{k} \sum_{i<k} ln(C_{i})-ln(C_{k}),$

à un estimateur déduit du coefficient directeur de la régression linéaire de l’espérance résiduelle sur les $k$ valeurs des coûts. En effet, si la variable aléatoire coût $C$ suit une loi de Pareto, alors l’espérance résiduelle a pour coefficient directeur $\frac{\alpha}{\alpha-1}$ (si $\alpha>1$, infini sinon).

  • Exemple 3 : on ajuste les $k$ plus grandes valeurs des coûts sur la loi de Pareto $(m,\alpha)$. L’estimateur $\hat{\alpha}$ dépendant fortement de $k$, on choisit $k$ en fonction de la stabilité de l’estimateur retenu.

Indépendamment du choix de la méthode, le seuil d’écrêtement sous-entend un caractère exceptionnel des sinistres. Or ce caractère est lié au nombre de sinistres constatés. Une manière de prendre ce constat en compte est la suivante :

Soient $C$ la variable aléatoire coût de sinistre et $N$ le nombre de sinistres :

$P(\exists i \leq N, C_{i} >M)=\alpha$

$P( \forall i \leq N, C_{i} \le M)=1-\alpha$

$\sum_{n} P(N=n)P(\forall i\leq n,C_{i} \le M) =1-\alpha$

$\sum_{n} P(N=n)P(C \le M)^{n} =1-\alpha$

La fonction $u \rightarrow g(u)= \sum_{n} P(N=n)u^{n},$ est la série génératrice (ordinaire) de $N$.

On a donc $g(F(M))=1-\alpha,$ où $F$ est la fonction de répartition de $C$. On déduit alors $M$ tel que $M=F^{-1}(g^{-1}(1-\alpha))$.

Enfin, lorsque le portefeuille est réassuré par un traité en excédent de sinistre, le seuil d’écrêtement gagnera à être comparé à la priorité de ce traité.

Références
Denuit M., Charpentier A. (2004) Mathématiques de l’assurance Non-Vie, Economica.
Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T. (1997) Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer.
Luzi M. (2007) Assurance IARD, Economica.